Control de calidad: controle la computación cuántica con operadores unitarios, interferencia y entrelazamiento

Foto de Sagar Dani.

Excelente. Acabamos de terminar la Parte 2 en Qubit (bit cuántico: el componente básico para la computación cuántica). Entonces, ¿cómo podemos controlarlo? A diferencia de la informática clásica, no aplicamos operaciones lógicas o aritmética común en qubits. No hay una "declaración while" o "declaración de ramificación" en la computación cuántica. En cambio, desarrollamos operadores unitarios para manipular qubits con el principio de interferencia en la mecánica cuántica. Suena elegante pero en realidad muy sencillo. Analizaremos el concepto de operadores unitarios. Como nota al margen, analizaremos su relación con la ecuación de Schrodinger para no diseñar un concepto contra la naturaleza. Finalmente, observamos el enredo, un fenómeno cuántico místico.

Puertas cuánticas

En computadoras clásicas, aplicamos operadores lógicos básicos (NOT, NAND, XOR, AND, OR) en bits para construir operaciones complejas. Por ejemplo, el siguiente es un sumador de un solo bit con un carry.

Las computadoras cuánticas tienen operadores básicos totalmente diferentes llamados puertas cuánticas. No recompilamos un programa C ++ existente para ejecutarlo en una computadora cuántica. Ambos tienen diferentes operadores y la computación cuántica requiere diferentes algoritmos para aprovecharlos. En la computación cuántica, se trata de manipular qubits, enredarlos y medirlos. Volvamos a la esfera Bloch. Conceptualmente, las operaciones de computación cuántica manipulan Φ y θ de la superposición para mover puntos a lo largo de la superficie de la esfera de la unidad.

Hablando matemáticamente, la superposición se manipula con un operador lineal U en forma de matriz.

Para un solo qubit, el operador es simplemente una matriz de 2 × 2.

Ecuación de Schrodinger (opcional)

¡La naturaleza parece ingenuamente simple! Las matemáticas son solo álgebra lineal que aprendemos en la escuela secundaria. Entre mediciones, los estados son manipulados por operadores lineales usando la multiplicación de matrices. Cuando se mide, la superposición se derrumba. Irónicamente, la linealidad es una gran decepción para los fanáticos de la ciencia ficción. Esta es una propiedad general de la dinámica cuántica. De lo contrario, es posible viajar en el tiempo o viajar más rápido que la luz. Si comenzamos con este operador lineal (un operador unitario para ser exactos), podemos derivar la ecuación de Schrodinger, una piedra angular de la mecánica cuántica al describir cómo evolucionan los estados en la mecánica cuántica. Desde la perspectiva opuesta, la ecuación de Schrodinger concluye la linealidad de la naturaleza.

Fuente

Aquí, podemos reescribir la ecuación de Schrodinger como

donde H es un ermitaño. Demuestra cómo los estados evolucionan en la naturaleza linealmente.

La ecuación es lineal, es decir, si ψ1 y ψ2 son soluciones válidas para la ecuación de Schrodinger,

Su combinación lineal es la solución general de la ecuación.

Si | 0⟩ y | 1⟩ son estados posibles de un sistema, su combinación lineal será su estado general, ese es el principio de superposición en la computación cuántica.

Unitario

Nuestro mundo físico no permite todos los operadores lineales posibles. El operador debe ser unitario y cumplir con el siguiente requisito.

donde U † es el conjugado complejo transpuesto de U. Por ejemplo:

Matemáticamente, el operador unitario conserva las normas. Esta es una propiedad maravillosa para mantener la probabilidad total igual a uno después de la transformación de estado y mantener la superposición en la superficie de la esfera de la unidad.

Si observamos la solución para la ecuación de Schrodinger a continuación, la naturaleza obedece a la misma regla unitaria. H es un Hermitiano (el conjugado complejo transpuesto de un Hermitiano es igual a sí mismo). Multiplicar el operador con su conjugado complejo transpuesto es igual a la matriz de identidad.

A continuación se muestra un ejemplo de H donde hay un campo magnético uniforme E₀ en la dirección z.

La aplicación de la operación unitaria a | ψ⟩ da como resultado una rotación en el eje z.

Pero, ¿cuál es el verdadero significado de unitario en el mundo real? Significa que las operaciones son reversibles. Para cualquier operación posible, hay otra que puede deshacer la acción. Al igual que cuando ves una película, puedes reproducirla hacia adelante y la naturaleza permite que su contraparte U † reproduzca el video hacia atrás. De hecho, es posible que no note si está reproduciendo el video hacia adelante o hacia atrás. Casi todas las leyes físicas son reversibles en el tiempo. Las pocas excepciones incluyen la medición en dinámica cuántica y la segunda ley de la termodinámica. Al diseñar un algoritmo cuántico, esto es muy importante. La operación OR exclusiva (XOR) en una computadora clásica no es reversible. La información se pierde. Dada una salida de 1, no podemos distinguir si la entrada original es (0, 1) o (1, 0).

En computación cuántica, llamamos a los operadores como puertas cuánticas. Cuando diseñamos una puerta cuántica, nos aseguramos de que sea unitaria, es decir, habrá otra puerta cuántica que pueda revertir el estado a su original. Esto es importante ya que

Si un operador es unitario, puede implementarse en una computadora cuántica.

Una vez que se prueba lo unitario, los ingenieros no deberían tener problemas para implementarlo, al menos teóricamente. Por ejemplo, las computadoras IBM Q, compuestas de circuitos superconductores, utilizan pulsos de microondas de diferente frecuencia y duración para controlar qubits a lo largo de la superficie de la esfera Bloch.

Para lograr unitario, a veces sacamos parte de la entrada para cumplir con este requisito, como el siguiente, incluso si parece redundante.

Veamos una de las puertas cuánticas más comunes, la puerta Hadamard, que el operador lineal se define como la siguiente matriz.

o en la notación de Dirac

Cuando aplicamos el operador a un estado de giro ascendente o descendente, cambiamos las superposiciones a:

Si se mide, ambos tienen la misma probabilidad de ser girado hacia arriba o hacia abajo. Si aplicamos la puerta de nuevo, vuelve al estado original.

Fuente

es decir, el conjugado transpuesto del Hadamard es la puerta de Hadamard misma.

Cuando aplicamos UU †, se restaura a la entrada original.

Por lo tanto, la puerta de Hadamard es unitaria.

La computación cuántica se basa en interferencias y enredos. Aunque podemos entender matemáticamente la computación cuántica sin comprender estos fenómenos, demostrémoslo rápidamente.

Interferencia

Las olas interfieren entre sí de manera constructiva o destructiva. Por ejemplo, la salida se puede ampliar o aplanar dependiendo de la fase relativa de las ondas de entrada.

¿Cuál es el papel de la interferencia en la computación cuántica? Realicemos algunos experimentos.

Interferómetro Mach Zehnder (fuente)

En el primer experimento, preparamos todos los fotones entrantes para tener un estado de polarización | 0⟩. Esta corriente de fotones polarizados se divide uniformemente por la posición del divisor de haz B a 45 °, es decir, se dividirá el haz en dos luces polarizadas ortogonalmente y saldrá por caminos separados. Luego usamos espejos para reflejar los fotones a dos detectores separados y medir la intensidad. Desde la perspectiva de la mecánica clásica, los fotones se dividen en dos caminos separados y golpean los detectores de manera uniforme.

En el segundo experimento anterior, colocamos otro divisor de haz antes de los detectores. Por intuición, los divisores de haz funcionan de forma independiente y dividen un flujo de luz en dos partes. Ambos detectores deben detectar la mitad de los haces de luz. La probabilidad de que un fotón llegue al detector D₀ usando la ruta 1 en rojo es:

La posibilidad total de que un fotón alcance D₀ es 1/2 de 1 ruta o 0 ruta. Entonces ambos detectores detectan la mitad de los fotones.

¡Pero eso no coincide con el resultado experimental! Solo D₀ detecta la luz. Modelemos la transición de estado para un divisor de haz con una puerta Hadamard. Entonces, para el primer experimento, el estado del fotón después del divisor es

Cuando se mide, la mitad de ellos será | 0⟩ y la otra mitad será | 1⟩. Los haces de luz se dividen de manera uniforme en dos caminos diferentes. Entonces nuestra puerta Hadamard coincidirá con el cálculo clásico. Pero veamos qué sucedió en el segundo experimento. Como se muestra antes, si preparamos todos los fotones de entrada para ser | 0⟩ y los pasamos a dos puertas Hadamard, todos los fotones serán nuevamente | 0⟩. Entonces, cuando se mide, solo D₀ detectará el haz de luz. Ninguno alcanzará D₁ mientras no realicemos ninguna medición antes de ambos detectores. Los experimentos confirman que el cálculo cuántico es correcto, no el cálculo clásico. Veamos cómo la interferencia juega un papel aquí en la segunda puerta de Hadamard.

Como se muestra a continuación, los componentes de la misma base de cálculo interfieren constructiva o destructivamente entre sí para producir el resultado experimental correcto.

Podemos preparar el haz de fotones de entrada para que sea | 1⟩ y rehacer el cálculo nuevamente. El estado después del primer divisor es diferente del original en una fase de π. Entonces, si medimos ahora, ambos experimentos harán las mismas mediciones.

Sin embargo, al aplicar la puerta Hadamard nuevamente, uno producirá | 0⟩ y uno producirá | 1⟩. La interferencia produce posibilidades complejas.

Permítanme hacer un experimento divertido más que tiene una implicación muy significativa en la ciberseguridad.

Si colocamos otro detector Dx después del primer divisor, el experimento muestra que ambos detectores detectarán la mitad de los fotones ahora. ¿Eso coincide con el cálculo en mecánica cuántica? En la siguiente ecuación, cuando agregamos una medida después del primer divisor, forzamos un colapso en la superposición. El resultado final será diferente de uno sin el detector adicional y coincidirá con el resultado experimental.

La naturaleza nos dice que si sabes qué camino toma el fotón, ambos detectores detectarán la mitad de los fotones. De hecho, podemos lograr eso con solo un detector en una de las rutas solamente. Si no se realiza ninguna medición antes de ambos detectores, todos los fotones terminan en el detector D₀ si el fotón está preparado para ser | 0⟩. Una vez más, la intuición nos lleva a la conclusión incorrecta, mientras que las ecuaciones cuánticas siguen siendo confiables.

Este fenómeno tiene una implicación crítica. La medida adicional destruye la interferencia original en nuestro ejemplo. El estado de un sistema cambia después de una medición. Esta es una de las principales motivaciones detrás de la criptografía cuántica. Puede diseñar un algoritmo de modo que si un pirata informático intercepta (mide) el mensaje entre usted y el remitente, puede detectar dicha intrusión independientemente de cuán suave sea la medición. Porque el patrón de la medición será diferente si se intercepta. El teorema de no clonación en mecánica cuántica afirma que no se puede duplicar un estado cuántico exactamente. Entonces el hacker no puede duplicar y reenviar el mensaje original también.

Más allá de la simulación cuántica

Si eres un físico, puedes aprovechar el comportamiento de interferencia en las puertas cuánticas para simular la misma interferencia en los mundos atómicos. Los métodos clásicos funcionan con la teoría de probabilidad con valores mayores o iguales a cero. Asume independencia que no es cierta en los experimentos.

El mecanismo cuántico afirma que este modelo es incorrecto e introduce un modelo con números complejos y negativos. En lugar de utilizar la teoría de la probabilidad, utiliza la interferencia para modelar el problema.

Entonces, ¿qué bien trae para los no físicos? La interferencia puede tratarse como el mismo mecanismo que un operador unitario. Se puede implementar fácilmente en una computadora cuántica. Matemáticamente, el operador unitario es una matriz. A medida que aumenta el número de qubits, obtenemos un crecimiento exponencial de coeficientes con los que podemos jugar. Este operador unitario (interferencia en el ojo del físico) nos permite manipular todos estos coeficientes en una sola operación que abre la puerta a manipulaciones masivas de datos.

Entrelazamiento

En general, los científicos creen que sin enredos, los algoritmos cuánticos no pueden mostrar supremacía sobre los algoritmos clásicos. Desafortunadamente, no entendemos bien las razones y, por lo tanto, no sabemos cómo adaptar un algoritmo para aprovechar todo su potencial. Es por eso que el enredo se menciona con frecuencia cuando se introduce la computación cuántica, pero no mucho después. Por esta razón, explicaremos qué es un enredo en esta sección. Espero que seas el científico para romper el secreto.

Considere la superposición de un 2 qubits.

donde | 10> significa que dos partículas están en un giro hacia abajo y hacia arriba, respectivamente.

Considere el siguiente estado compuesto:

¿Podemos dividir el estado compuesto de nuevo en dos estados individuales como,

No podemos porque requiere:

La mecánica cuántica demuestra un concepto no intuitivo. En la mecánica clásica, creemos que se puede entender todo el sistema entendiendo bien cada subcomponente. Pero en mecánica cuántica,

Como se muestra anteriormente, podemos modelar el estado compuesto y hacer predicciones de medición perfectamente.

Pero no podemos describirlo ni entenderlo como dos componentes independientes.

Me imagino este escenario como una pareja casada por 50 años. Siempre acordarán qué hacer, pero no puede encontrar las respuestas cuando las trata como personas separadas. Este es un escenario demasiado simplificado. Hay muchos estados de enredo posibles

y será mucho más difícil describirlos cuando aumente el número de qubits. Al realizar operaciones cuánticas, sabemos cómo se correlacionan (entrelazan) los componentes. Pero antes de cualquier medición, los valores exactos permanecen abiertos. El entrelazamiento produce correlaciones que son mucho más ricas y probablemente mucho más difíciles de imitar de manera eficiente para un algoritmo clásico.

próximo

Ahora, sabemos cómo manipular qubits con operaciones unitarias. Pero para aquellos interesados ​​en algoritmos cuánticos, primero debemos saber cuál es la limitación. De lo contrario, puede pasar por alto qué cosas son difíciles en la computación cuántica. Pero para aquellos que quieran saber más acerca de la puerta cuántica primero, pueden leer el segundo artículo antes del primero.